1. Introducción y referencias

Vuelvo, una vez más, sobre un artículo compartido en este mismo foro, y que ya comenté en otro hilo. Me permito abrir uno nuevo por la importancia de los resultados científicos que voy a presentar; salvo error por mi parte, me parecen irrefutables.

El artículo que voy a citar es el titulado Vales lo que valen tus amigos y firmado por el Sr. Alfonso Aza Jácome.

Mi modo de proceder, como he indicado, será puramente científico y, por tanto, no voy a entrar en valoración alguna sobre si es posible o no que los amigos «valgan» algo, o que uno mismo «valga» tampoco algo. En el artículo leemos «la sumatoria de lo que tus amigos están dispuestos a hacer por ti, es el valor real que cada uno de nosotros tenemos como persona». Averiguamos así que el «valor (real)» se aplica a «nosotros» «como persona[s]». Dejaremos de lado que el «valor» de los «amigos» se identifique, nada menos, con lo que «[esos] amigos están dispuestos a hacer por ti»; ya hemos dicho que nos limitaremos a proceder de un modo científico.

2. Notación

De acuerdo con las notaciones habituales, $A \times B$ denotará el producto cartesiano de los conjuntos $A$ y $B$; $x \in Y$ indicará que $x$ pertenece a $Y$, en el sentido conjuntista del término; escribiremos $X \subseteq Y$ para decir que el conjunto $X$ está incluído en (esto es, que $X$ es un subconjunto de) $Y$; finalmente, escribiremos $\langle x,y \rangle$ para denotar el par ordenado cuyo primer componente es $x$ y cuyo segundo componente es $y$.

3. Hipótesis mínima

Puesto que el autor se refiere explícitamente a «la sumatoria» de los valores, vamos a suponer, amparándonos en el principio de parsimonia, que las valoraciones de las personas son números reales no negativos (no entenderíamos bien que un amigo tenga una valoración negativa). Naturalmente, el autor podría estar refiriéndose a valoraciones con otro rango, por ejemplo números complejos, o matrices de determinada complejidad; pero, como no indica nada al respecto, creemos que nuestra suposición está bien fundada.

4. Nomenclatura

Sea $P$ un conjunto de personas, y $P\times P$ el producto cartesiano de $P$ por $P$. $A \subseteq P \times P$ es la relación de amistad, es decir, un subconjunto de $P \times P$ tal que $\langle p_1, p_2 \rangle \in A$ si y sólo si $p_1$ y $p_2$ son amigos. El valor (o la valoración) de una persona $p \in P$ lo escribiremos $v(p)$, es decir, $v$ será una función $v: P \longrightarrow \mathbb{R}_{+}$ (donde $\mathbb{R}_{+}$ son los reales no negativos) que para cada persona nos dará su valor, un número real no negativo.

5. Simetría de A

De la relación $A$ sólo vamos a suponer que es simétrica, es decir, que si $p_1$ es amigo de $p_2$, entonces necesariamente $p_2$ es también amigo de $p_1$. Por suerte, la relación de amistad no parece propensa, como sí pasa con la de amor, a la desgracia: hay amores desgraciados («yo te amo, pero tú no me correspondes») pero no amistades desgraciadas («yo te amigo, pero tú no me amigas»), salvo en el parvulario, que no va a ser objeto de nuestro análisis.

Ya estamos en condiciones de enunciar nuestro resultado más importante.

Teorema 1. Si una persona $p$ tiene más de un amigo, no vale nada (es decir, su valor es cero).

Demostración. Sea $q$ un amigo arbitrario de $p$, y denotemos por $R_q(p)$ el conjunto del resto de los amigos de p. Por hipótesis, $R_q(p)$ no puede estar vacío.

El valor de $p$ es la sumatoria de los valores de los amigos de $p$, es decir,

\begin{equation} v(p) = v(q) + \sum_{x \in R_q(p)} v(x). \end{equation}

Por otra parte, si ahora escribimos $R_p(q)$ para indicar el conjunto (que puede ser vacío) del resto de los amigos de $q$ (es decir, los amigos de $q$ que no son $p$), tenemos:

\begin{equation} v(q) = v(p) + \sum_{x \in R_p(q)} v(x). \end{equation}

Substituyendo $v(q)$, obtenemos

\begin{equation} v(p) = v(p) + \sum_{x \in R_p(q)} v(x) + \sum_{x \in R_q(p)} v(x). \end{equation}

y ahora podemos eliminar $v(p)$, para obtener,

\begin{equation} 0 = \sum_{x \in R_p(q)} v(x) + \sum_{x \in R_q(p)} v(x). \end{equation}

de donde

\begin{equation} 0 = \sum_{x \in R_p(q)} v(x), \end{equation}

por ser todos los valores no negativos, es decir, todos los amigos de $p$ distintos de $q$ valen cero.

Ya casi estamos: recordemos que $R_q(p)$ no puede, por hipótesis, estar vacío. Sea entonces $x$ un elemento cualquiera de $R_q(p)$. Acabamos de ver que $v(x) = 0$. Pero, como $\langle p,x \rangle \in A$, es decir, como $p$ y $x$ son amigos, y por la simetría de $A$, también $\langle x, p \rangle \in A$, tenemos

\begin{equation} 0 = v(x) = v(p) + ... \end{equation}

y esto obliga también a que $v(p) = 0$. Pero $p$ era arbitrario. $\square$

6. Posibilidad de la reflexividad de A, y sus consecuencias

Ya hemos dicho que $A$ es simétrica. ¿Qué otras propiedades puede tener $A$? Supongamos que $A$ fuese reflexiva, es decir, que para todo $p \in P, \langle p,p\rangle \in A$, $p$ es amigo de sí mismo. Esto no parece tener mucho sentido, pero, si se produjese, nos permitiría obtener un resultado todavía más fuerte:

Teorema 2. Si $A$ es reflexiva y tengo amigos, no valgo nada.

Demostración. Consideremos un $p$ arbitrario, sea $q$ un amigo cualquiera de $p$, $\langle p,q\rangle \in A$, y sea $R_q(p)$ el conjunto del resto de los amigos de $p$. Como hemos supuesto que $A$ es reflexiva,

\begin{equation} v(p) = v(p) + v(q) + \sum_{x \in R_q(p)} v(x). \end{equation}

Eliminando $v(p)$, observamos que el valor de $q$ es cero, ya que todos los valores son no negativos. Pero $q$ también es arbitrario y $A$ es simétrica, por lo que el valor de $p$ tiene también que ser cero. $\square$

Ya sólo nos queda enunciar nuestro último teorema.

Teorema 3. Si $A$ no es reflexiva y valgo algo, sólo puedo tener un amigo.

Demostración. Inmediato a partir de lo anterior. $\square$

7. Resumen

Se notará que, en caso de que no tenga amigos, mi valoración puede ser cualquiera. Igualmente, si sólo tengo un amigo (y A no es reflexiva), nuestra valoración puede ser también arbitraria. Por lo tanto, podríamos enunciar, simplificando un poco, y en el lenguaje de los legos, nuestros resultados del siguiente modo:

Si quieres valer algo (como persona) en la vida,
NO TENGAS AMIGOS, O, COMO MUCHO, TEN UNO SOLO.
Tu valor en la vida podrá entonces, ser arbitrariamente grande.
Pero, ¡cuidado! Si tienes más de un amigo, no valdrás nada.

8. Una aplicación práctica

Se notará también la extrema inconveniencia de dejar regir la propia vida por el adagio «los amigos de mis amigos son mis amigos», a menos que $A)$ le asignemos una significación vacua, o bien B) (1) eliminemos la consecuencia reflexiva, (2) limitemos «mis amigos» a uno solo, y (3) estemos seguros de que nuestro único amigo no tiene otros amigos que nosotros mismos. De otro modo, corremos el riesgo de pasar, de modo inmediato, a perder todo nuestro valor, o para decirlo con más propiedad, de descubrir en el acto que carecemos en absoluto de él.

9. Agradecimientos

No quiero despedirme sin agradecer al Sr. Aza la magnífica oportunidad que nos ha dado de descubrir este resultado, y de poder ponerlo a disposición de un público más amplio. Creo que, para todos, será un conocimiento que modelará, desde este mismo momento, nuestras vidas, llenándolas de valor como personas.

Josep Maria